Ook ik heb de laatste maanden vaak naar Saturnus en zijn manen gekeken. Ik heb daarbij steeds datum en tijd genoteerd, en een tekeningetje gemaakt van de manen die ik zag. Op 2 januari maakte ik bijvoorbeeld de volgende tekening:
Ik heb steeds geprobeerd de positie van de maantjes die ik zag ten opzichte van Saturnus zo nauwkeurig mogelijk in te tekenen. Steeds schatte ik hoeveel ‘ringdiameters’ een maantje links of rechts van (en boven of onder) Saturnus stond. Vandaar de horizontale as met daarop de eenheden in ringdiameters (de diameter van de buitenkant van de ringen is ongeveer 280.000 km). Achteraf heb ik steeds met SkyChart III bepaald welke manen ik gezien had, en de namen van de maantjes in de tekeningetjes erbij gezet.
Vervolgens was ik benieuwd of ik met deze gegevens baangegevens van de geobserveerde manen zou kunnen schatten. Ik heb me daarvoor in eerste instantie beperkt tot Titan, omdat ik daarvan verweg de meeste waarnemingen had. Ik ben er voor het gemak van uitgegaan dat de baan van Titan een cirkel is. Dat is redelijk, omdat de boeken zeggen dat de excentriciteit van Titans baan 0,0292 is. Van alle waargenomen posities van Titan heb ik de x-coördinaat (links of rechts van het midden van Saturnus) in Excel gezet, in tienden van de ringdiameter. Zie de kolom ‘waargenomen positie’ hieronder:
datum tijd waargenomen
positie berekende
positie fout in
doorgang fout in
periode
19-10-04 6:45 -7 -5,0233 -1,9767 1,9767
20-10-04 6:00 7 5,7867 1,2133 1,2133
22-10-04 6:00 25 23,8638 1,1362 1,1362
25-10-04 5:00 25 23,7289 1,2711 1,2711
26-10-04 6:30 20 15,2640 4,7360 4,7360
27-10-04 6:45 8 4,7412 3,2588 3,2588
29-10-04 7:00 -15 -16,6725 1,6725 1,6725
30-10-04 7:00 -25 -24,2677 -0,7323 0,7323
13-11-04 6:30 -8 -6,8522 -1,1478 1,1478
14-11-04 6:00 -13 -16,7573 3,7573 3,7573
24-11-04 0:00 25 27,6642 -2,6642 2,6642
24-11-04 22:00 28 28,3006 -0,3006 0,3006
02-12-04 5:00 -27 -28,1772 1,1772 1,1772
09-12-04 5:30 25 24,6423 0,3577 0,3577
09-12-04 23:15 27 27,7167 -0,7167 0,7167
16-12-04 6:15 -22 -17,7615 -4,2385 4,2385
19-12-04 22:30 -25 -24,2873 -0,7127 0,7127
26-12-04 7:00 29 28,3905 0,6095 0,6095
26-12-04 21:15 25 28,1959 -3,1959 3,1959
02-01-05 1:45 -25 -24,1804 -0,8196 0,8196 zie tekening
06-01-05 6:45 -13 -12,9245 -0,0755 0,0755
08-01-05 21:30 15 15,1231 -0,1231 0,1231
13-01-05 5:30 30 21,8769 8,1231 8,1231
14-01-05 21:45 5 6,0640 -1,0640 1,0640
15-01-05 20:15 -7 -4,3977 -2,6023 2,6023
06-02-05 20:00 -17 -16,2555 -0,7445 0,7445
07-02-05 22:45 -5 -4,7615 -0,2385 0,2385
27-02-05 3:00 34 25,4491 8,5509 8,5509
05-03-05 20:30 -24 -16,4027 -7,5973 7,5973
gemiddeld 0,2384 2,2350
Daarna heb ik een algemene formule bedacht die de x-coördinaat van een eenparig cirkelvormige beweging geeft:
positie = radius * sinus((datum+tijd + doorgang) * 2π / periode)
Hierin is:
positie de x-coördinaat van de baan
radius de straal (halve diameter) van de baan
datum+tijd de datum en tijd waarop je de positie wilt weten
doorgang de datum en het tijdstip van een willekeurige doorgang (x-coördinaat gelijk aan nul)
periode de periode van de baan (duur van één omloop)
De kunst was nu om voor de parameters radius, doorgang en periode zo’n waarde te kiezen, dat de posities berekend met de formule mijn waargenomen posities zo goed mogelijk zou benaderen. Om de waargenomen en de berekende waarden zo goed mogelijk te kunnen vergelijken heb ik twee getallen bedacht: de gemiddelde fout in de doorgang en de gemiddelde fout in de periode. De fout in de doorgang geeft het verschil tussen de gemeten positie en de met de formule berekende waarde. De fout in de periode is de absolute waarde van dit getal. Door te spelen met de drie parameters in de formule en te kijken of ik het gemiddelde van deze twee fouten zo klein mogelijk kon maken, kreeg ik uiteindelijk de volgende waarden:
radius 28,500 tienden van ringdiameters
periode 15,949 dagen
doorgang 10,300 dagen
De waarde uit de formule met deze parameters staat in de kolom ‘berekende positie’. Dat betekent dus dat volgens mijn waarnemingen de periode van Titan 15,949 dagen is (ongeveer 15 dagen, 22 uur en 46½ minuut). De werkelijke waarde is 15 dagen, 23 uur en 15½ minuut.
Bij het bepalen van de straal van de baan zat ik er verder naast: 28,5 x 0,1 x 280.000 km = 798.000 km. De werkelijke gemiddelde straal van de baan van Titan is 1.221.600 km. Blijkbaar ‘zie’ ik Titan veel dichter bij Saturnus dan dat ze in werkelijkheid is.
Weet iemand een formule (of algoritme) om rechtstreeks uit de gemeten waarden de drie parameters te berekenen? Waarschijnlijk kun je de kleinste-kwadraten methode wel toepasssen, samen met wat lineaire algebra... Behalve van Titan heb ik van nog zes Saturnus-manen metingen. Ook van de vier grootste manen van Jupiter krijg ik steeds meer posities. Wie durft?
